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\section*{1.23. French}

\textbf{Théorème 1.23.}
Soit un diagramme commutatif
\[
\begin{CD}
X @>>> \bar{X} \\
@V f VV @VV \bar{f} V \\
S @= S
\end{CD}
\]
dans lequel
\begin{enumerate}
\item[(a)] $S$ est un schéma noethérien de caractéristique $0$, et $j$ une immersion ouverte de $S$-schémas de type fini,
\item[(b)] $f$ est lisse purement de dimension relative un,
\item[(c)] $T = \bar{X} - X$ est quasi-fin sur $S$.
\end{enumerate}

Soit $V$ un fibré vectoriel sur $X$ muni d'une connexion relative
\[
\nabla : V \longrightarrow \Omega^1_{X/S}(V).
\]

Alors, l'ensemble des points $s \in S$ tels que la restriction de $(V,\nabla)$ à la fibre $X_s$ de $X$ en $s$ soit régulier en $T_s$ est fermé dans $S$.

Il est clair sur 1.12 que le dit ensemble est constructible (ainsi que son complément, il a la propriété de continuité, avec tout point $\eta$, un voisinage de $\eta$ dans l'adhérence $\bar{\eta}$). Reste à montrer qu'il est stable par spécialisation, ce qui se vérifie en prouvant que si $S$ est le spectre d'un anneau de valuation discrète, de point générique $\eta$ et de point fermé $s$, et que $(V_\eta,\nabla)$ sur $X_\eta$ est régulier en $T_\eta$, alors $(V_s,\nabla)$ sur $X_s$ est régulier en $T_s$. Quitte à remplacer $\bar{X}$ par son normalisé, on peut supposer $\bar{X}$ plat sur $S$ et normal.

Soit $x \in T_s$. Soit $\bar{X}'$ un voisinage affine de $x$ dans $\bar{X}$ tel que la restriction de $V$ à $\bar{X}^1 \cap X_s$ soit libre, de base $e_i$ et tel qu'il existe un ouvert affine $X''$ de $X$ tel que $X''_s = \bar{X}^1 \cap X_s$ (pour qu'il existe un tel $X''$, il suffit de prendre $\bar{X}$ assez petit pour que $\bar{X}_s - X_s$ soit défini par une équation, par exemple). Relevons $e_i$ en une section $\widetilde{e}_i$ de $V$ sur $X''$, et soit $X^1$ l'ouvert de $X''$ sur lequel $(\widetilde{e}_i)$ est une base.

Les hypothèses de (1.23) sont encore vérifiées pour $X' \to \bar{X}^1$, et $V|_{X^1}$ est régulier en $\bar{X}^1 - X^1$. Pour vérifier que $V|_{X'_s} = V|_{X_s}$ est régulier en $x$, on se ramène donc au cas où $V$ est libre ; on peut donc supposer $V$ prolongé en un fibré vectoriel sur $\bar{X}$, de base $(e_i)$.

Soit $f$ une section de $\mathcal{O}_{\bar{X}}$, non constante sur $X_s$ et nulle sur $\bar{X} - X$. Soit $\tau$ le champ de vecteur relatif tel que $<\tau, df/f> = 1$.

Par construction, le champ de vecteur $\tau$ induit sur le normalisé $\bar{X}^n_s$ de $\bar{X}_s$ un champ de vecteurs qui s'annule simplement sur $\bar{X}_s - X_s$. Pour vérifier que $V|_{X_s}$ est régulier en $x$, il suffit donc de vérifier qu'il existe $n$ tel que les
\[
t^n \nabla_\tau^i e_k |_{\bar{X}_s} \quad (i \geq 0)
\]
soient tous réguliers. Par hypothèse, il existe $n$ tel que les
\[
t^n \nabla_\tau^i e_k |_{\bar{X}_\eta}
\]
soient réguliers. Les $t^n \nabla_\tau^i e_k$ sont donc réguliers sur $\bar{X}_\eta \cup X_s$, dont le complément est de codimension deux ; puisque $\bar{X}$ est normal, les $t^n \nabla_\tau^i e_k$ sont automatiquement partout réguliers, notamment sur $\bar{X}_s$.

On vérifie de même la variante analytique suivante de 1.23.


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\section*{1.23. English}

\textbf{Theorem 1.23.}
Consider a commutative diagram
\[
\begin{CD}
X @>>> \bar{X} \\
@V f VV @VV \bar{f} V \\
S @= S
\end{CD}
\]
in which
\begin{enumerate}
\item[(a)] $S$ is a Noetherian scheme of characteristic $0$, and $j$ is an open immersion of $S$-schemes of finite type,
\item[(b)] $f$ is smooth of pure relative dimension one,
\item[(c)] $T = \bar{X} - X$ is quasi-finite over $S$.
\end{enumerate}

Let $V$ be a vector bundle on $X$ equipped with a relative connection
\[
\nabla : V \longrightarrow \Omega^1_{X/S}(V).
\]

Then the set of points $s \in S$ such that the restriction of $(V,\nabla)$ to the fiber $X_s$ of $X$ at $s$ is regular along $T_s$ is closed in $S$.

It follows immediately from 1.12 that this set is constructible (as is its complement; it satisfies the continuity property: for every point $\eta$, there exists a neighborhood of $\eta$ inside the closure $\bar{\eta}$). It remains to show that it is stable under specialization, which amounts to proving the following: if $S$ is the spectrum of a discrete valuation ring with generic point $\eta$ and closed point $s$, and if $(V_\eta,\nabla)$ on $X_\eta$ is regular along $T_\eta$, then $(V_s,\nabla)$ on $X_s$ is regular along $T_s$. Replacing $\bar{X}$ by its normalization if necessary, we may assume that $\bar{X}$ is flat over $S$ and normal.

Let $x \in T_s$. Choose an affine neighborhood $\bar{X}'$ of $x$ in $\bar{X}$ such that the restriction of $V$ to $\bar{X}' \cap X_s$ is free, with basis $e_i$, and such that there exists an affine open subset $X''$ of $X$ satisfying $X''_s = \bar{X}' \cap X_s$ (such an $X''$ exists provided $\bar{X}$ is chosen small enough so that $\bar{X}_s - X_s$ is defined by a single equation, for instance). Lift the basis elements $e_i$ to sections $\widetilde{e}_i$ of $V$ over $X''$, and let $X^1$ denote the open subset of $X''$ where $(\widetilde{e}_i)$ forms a basis.

The hypotheses of (1.23) still hold for $X^1 \to \bar{X}'$, and $V _{X^1}$ is regular along $\bar{X}' - X^1$. Thus, to verify that $V _{X'_s} = V _{X_s}$ is regular at $x$, we reduce to the case where $V$ is free; consequently, we may assume that $V$ extends to a vector bundle on $\bar{X}$ with basis $(e_i)$.

Let $f$ be a section of $\mathcal{O}_{\bar{X}}$, non-constant on $X_s$ and vanishing on $\bar{X} - X$. Let $\tau$ be the relative vector field characterized by $<\tau, df/f> = 1$.

By construction, the vector field $\tau$ induces on the normalization $\bar{X}^n_s$ of $\bar{X}_s$ a vector field that vanishes simply along $\bar{X}_s - X_s$. Therefore, to check that $V _{X_s}$ is regular at $x$, it suffices to verify that there exists an integer $n$ such that all the sections
\[
t^n \nabla_\tau^i e_k |_{\bar{X}_s} \quad (i \geq 0)
\]
are regular. By hypothesis, there exists such an $n$ for which the sections
\[
t^n \nabla_\tau^i e_k |_{\bar{X}_\eta}
\]
are regular. Hence the sections $t^n \nabla_\tau^i e_k$ are regular on $\bar{X}_\eta \cup X_s$, whose complement has codimension two; since $\bar{X}$ is normal, these sections are automatically regular everywhere, in particular on $\bar{X}_s$.

One verifies similarly the following analytic variant of Theorem 1.23.


